Materi Metode Numerik

PERTEMUAN 1
GALAT DALAM KOMPUTASI NUMERIK

Dalam praktek sehari-hari, misalnya dalam bidang teknik dan bisnis, sering terdapat kasus gagalnya pencarian penyelesaian eksak suatu masalah matematika. Hal ini bukan disebabkan oleh cara mencari penyelesaian yang tidak diketahui, namun karena adanya kenyataan bahwa penyelesaian yang diinginkan tidak dapat dinyatakan secara elementer atau adanya fungsi-fungsi yang telah diketahui. Karena itu komputasi numerik menjadi amat penting, khususnya dalam kaitannya dengan meningkatnya peranan model matematika dalam bidang sains dan teknologi, serta dengan adanya teknologi pendukung berupa komputer yang berkempuan tinggi.
Komputasi numerik merupakan suatu pendekatan penyelesaian masalah yang disajikan dalam bentuk model matematika. Metode numerik adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang disajikan dalam model matematika dengan menggunakan sekumpulan operasi aritmatika sederhana dan operasi logika pada sekumpulan data numerik yang disajikan. Operasi-operasi tersebut biasanya merupakan operasi-operasi yang dapat dilakukan oleh komputer. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Proses penyelesaian mungkin memerlukan puluhan sampai jutaan operasi tergantung pada kompleksitas masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan , metode yang dipakai dan sebagainya. Apabila jumlah operasi hitung yang diperlukan hanya berjumlah puluhan, maka persoalan dapat diselesaikan secara manual atau dengan menggunakan kalkulator. Tetapi bila persoalan memerlukan jutaan operasi hitung, maka penyelesaiannya harus dengan bantuan komputer berkecepatan tinggi. Disinilah kemajuan teknologi computer memegang peranan penting dalam komputasi numerik. Meskipun demikian, pemilihan metode yang efisien merupakan aspek lain yang menjadi perhatian dalam komputasi numerik. Hal ini akan semakin terasa didalam menyelesaikan masalah-masalah berskala besar, misalnya yang melibatkan ribuan variable.

CONTOH 1.1
Hitunglah sampai empat angka desimal
Penyelesaian:
Terdapat lebih daripada satu algoritma, yang hanya menggunakan empat operasi aritmatika dasar ( perkalian/pembagian dan penjumlahan/pengurangan), Salah satunya yang cukup popular adalah

untuk . Dengan menggunakan algoritma diatas kita peroleh nilai , untuk , ,
,
, , ,
Jadi nilai hampiran sampai empat angka desimal untuk adalah 1,4142.

1.1 SUMBER-SUMBER GALAT
Selain kecepatan, aspek lain yang sangat penting untuk diperhatikan didalam
komputasi numerik adalah keakuratan penyelesaian yang diperoleh. Hal ini disebabkan penyelesaian yang diperoleh melalui komputasi numerik umumnya merupakan solusi hampiran, yang tentunya terdapat beberapa galat (kesalahan numerik).
Berikut ini merupakan beberapa sumber galat (error ) pada suatu solusi hampiran yang diperoleh dengan menggunakan suatu metode komputasi numerik, yaitu:
1. Model matematika untuk suatu fenomena alam
2. Galat bawaan dari data masukan ( parameter masukan )
3. Metode penyelesaian
4. Adanya pembulatan didalam melakukan operasi-operasi aritmatika atau operasi –operasi jenis lain pada bilangan-bilangan yang terkait.
Selain sumber-sumber tersebut, kesalahan numerik juga dapat disebabkan oleh kekurang cermatan manusia (human error), penggunaan alat ukur dan penggunaan mesin hitung/kalkulator/komputer. Kekurangcermatan manusia dapat menyebabkan kesalahan didalam merumuskan model matematika suatu fenomena alam dan hasil pengukuran ( kesalahan membaca alat ukur). Pemakaian alat ukur yang tidak akurat juga akan menghasilkan pengukuran (data) yang mengandung galat. Keterbatasan mesin hitung/kalkulator/komputer dalam menyajikan suatu bilangan akan menghasilkan kesalahan-kesalahan pembulatan/pemotongan.
Galat yang disebabkan oleh kekurang telitian model matematika dan oleh galat bawaan dari data masukan bersifat inherent (bawaan/melekat). Galat ini mungkin tetap ada, sekalipun penyelesaiannya diperoleh dengan menggunakan metode eksak .Tingkat keakuratan suatu model matematika dalam menjelaskan suatu fenomena alam diuji dengan membandingkan hasil-hasil beberapa eksperimen dengan beberapa hasil penyelesaian khusus dengan menggunakan beberapa parameter masukan.
Dari penjelasan diatas, dapat disimpulkan bahwa galat dalam komputasi numerik dapat dikelompokkan menjadi tiga macam, yaitu sbb:
1. Galat bawaan ( inherent error ), yaitu galat yang dapat disebabkan oleh kesalahan hasil pengukuran, kesalahan data awal, dan sejenisnya.
2. Galat pemotongan ( Truncation error ), yaitu galat yang berkaitan dengan metode numerik yang dipakai. Galat ini dapat terjadi karena adanya pemotongan deret tak berhingga yang menyangkut perhitungan nilai suatu fungsi atau nilai desimal, dan karena penghentian proses perhitungn.
3. Galat pembulatan ( Rounding off error ), yaitu galat yang berkaitan dengan penggunaan sejumlah terbatas angka signifikan.
Sebelum menguraikan satu persatu dari ketiga galat diatas, maka akan dijelaskan lebih dahulu tentang apa yang disebut sebagai galat hampiran.

1.2 GALAT HAMPIRAN
Pemahaman tentang galat didalam komputasi numerik merupakan sesuatu yang tidak dapat diabaikan, mengingat hakekat komputasi numerik menggunakan metode – metode hampiran nilai.

1.2.1 Pengertian galat
Misalkan adalah suatu nilai hampiran numerik untuk nilai numerik eksak yang tidak diketahui. Nilai
……………… …………… ……………..(1.1)
disebut galat, sedangkan disebut galat mutlak, dan nilai
…………………………………………….(1.2)
asalkan disebut galat relatif. Oleh karena nilai biasanya tidak diketahui, dalam perhitungan penyebut dalam galat relatif sering digunakan nilai hampiran, sehingga persamaan (1.2 ) menjadi
……………………………………………(1.3)
persamaan (1.3) disebut galat relatif hampiran.
Dengan kata lain ,


dan berturut-turut disebut batas galat mutlak dan batas galat hampiran.

CONTOH 1.2
Nilai hampiran yang seling dipakai adalah hampiran terhadap nilai-nilai , yaitu,
dan
Galat relatif hampiran pada nilai hampiran 1,414 untuk nilai sekitar , sedangkan hampiran yang lebih kasar 1,41 mempunyai galat 0,003. Hampiran lain yang cukup terkenal terkenal adalah Nilai sehingga

CONTOH 1.3
Tentukan galat dan galat relatif pada nilai-nilai hampiran di bawah ini, jika nilai eksaknya diketahui:
1. Hampiran untuk nilai eksak
2. Hampiran untuk nilai eksak
3. Hampiran untuk nilai eksak
Jawab:
1. dan
2. dan
3. dan
1.2.2 ANGKA SIGNIFIKAN
1. Misalkan suatu hampiran bilangan dinyatakan sebagai,

jika untuk , maka digit-digit , ,… disebut angka signifikan.
2. Suatu digit dikatakan benar jika
3. Misalkan adalah nilai eksak, adalah nilai hampirannya. dikatakan menghampiri sampai angka signifikan, jika adalah bilangan bulat positip terbesar yang memenuhi .
CONTOH 1.4
1. Bilangan 25,047 memiliki 5 angka signifikan
2. Bilangan -0,00250 memiliki 3 angka signifikan, yaitu 2, 5, 0
3. Bilangan 0,000068 memiliki 2 angka signifikan, yaitu 6 dan 8
4. Bilangan 0,100068 memiliki 6 angka signifikan
5. Jika dan , maka , , jadi menghampiri sampai 3 angka signifikan.
6. Jika dihampiri oleh , maka Jadi menghampiri sampai lima angka sifnifikan.
7. Jika dihampiri oleh , maka Jadi hampiran tidak memiliki angka signifikan.
Jika suatu nilai hampiran ditulis tanpa menyebutkan galat mutlaknya, maka hanya digit-digit yang benar yang ditulis. Dalam hal ini digit 0 disebelah kanan tidak dihilangkan. Sebagai contoh, bilangan 0,0344 dan 0,034400 adalah dua hampiran yang berbeda. Bilangan 0,0344 memiliki galat mutlak tidak melebihi 0,0001, sedangkan bilangan 0,034400 memiliki galat mutlak tidak lebih dari pada .
Jika bagian bulat suatu bilangan hampiran memiliki lebih banyak angka signifikan dari pada cacah – cacah digit benar, maka sebaiknya digunakan notasi normal, misalnya . Dari notasi ini, jelas bahwa mempunyai tiga angka signifikan. Dalam hal ini , notasi tidak disarankan. Bilangan-bilangan hampiran sebelumnya ditulis sebagai dan
Notasi yang sering digunakan untuk menuliskan suatu hampiran adalah:
,
yang berarti nilai memenuhi ketidaksamaan . Disini besaran
ditulis dengan cacah digit signifikan yang kurang dari dari pada cacah digit signifikan pada . Sebagai contoh:

Perlu dibedakan antara cacah digit signifikan benar dengan cacah digit benar disebelah kanan titik pecahan pada suatu nilai hampiran. Misalnya, hampiran mempunyai lima digit signifikan dan tiga digit benar disebelah kanan titik pecahan, sedangkan hampiran mempunyai tiga digit signifikan benar dan lima digit benar di sebelah kanan titik pecahan.
Jadi galat mutlak suatu nilai hampiran seutuhnya ditentukan oleh cacah digit benar di sebelah kanan titik pecahan, sedangkan galat relatifnya ditentukan oleh cacah digit signifikan.

1.3 GALAT PEMBULATAN ( Rounding Off Error )
Pembulatan bilangan sering dilakukan didalam proses komputasi. Pembulatan artinya mengurangi cacah digit pada suatu nilai hampiran dengan cara membuang beberapa digit terakhir. Cara melakukan pembulatan suatu nilai hampiran menggunakan aturan sebagai berikut:
 Jika digit pertama yang dibuang kurang dari 5, digit didepannya tidak berubah.
 Jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5, digit didepannya ditambah 1 nilainya.
CONTOH 1.5
1. Nilai-nilai 2, 324 ; 2,316 dan 3,315 jika dibuang sampai dua angka desimal ( di belakan “koma” ), hasilnya adalah 2,32.
2. Nilai-nilai 3,14159 ; -0,0025 dan 84,009974 jika dibulatkan berturut-turut sampai dua, tiga dan empat angka decimal ( dibelakang “koma”), hasilnya berturu-turut adalah 3,14 ; -0,003 dan 84,0100.
Jelaslah bahwa galat mutlak pembulatan sampai angka desimal ( dibelakang “koma”) tidak lebih dari . Pengulangan pembulatan tidak disarankan dalam komputasi numerik, karena akan memperbesar galat. Sebagai contoh, jika nilai 18,34461 dibulatkan sampai tiga angka desimal hasilnya 18,345 dan jika dibulatkan lagi sampai dua angka decimal menjadi 18,35. Akan tetapi, jika langsung dibulatkan sampai dua angka decimal hasilnya adalah 18,34. Galat dua kali pembulatan sebesar 0,00539, sedangkan galat sekali pembulatan senilai 0,00461.

1.4 GALAT PEMOTONGAN ( Truncation Error )
Pengertian galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresi matematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini berawal dari kebiasaan mengganti suatu fungsi rumit dengan deret Taylor terpotong ( hanya diambil berhingga suku ).

CONTOH 1.6
1. Kita tahu bahwa deret konvergen ke satu. Jika hanya diambil 10 suku pertama, maka diperoleh hampiran
Dalam hal ini terdapat galat pemotongan sebesar .
2. Dari kalkulus kita ketahui bahwa,

Misalkan diketahui . Jika nilai ini dihampiri dengan mengambil empat suku pertama deret tersebut, maka diperoleh hampiran yang senilai , dibulatkan sampai enam angka decimal. Galat hampiran tersebut sebesar 0,000550=0,550x dan galat relatifnya senilai 0,007753< 0,5x . Jadi nilai hampiran tersebut benar sampai satu angka signifikan . 1.4.1 PEMANGKASAN DAN PEMBULATAN Perhatikan bahwa setiap bilangan riil dapat dinyatakan dalam bentuk decimal normal sbb: , dengan , untuk j>1.
Misalkan adalah maksimum banyaknya digit desimal yang dipergunakan oleh komputer untuk melakukan komputasi titik kambang. Dalam hal ini, bilangan disajikan sebagai , yang didefinisikan sebagai , dengan dan untuk . Bentuk ini disebut penyajian titik kambang terpangkas ( chopped floating point representation ) .

LATIHAN 1
1. Perhatikan model pertumbuhan populasi , dengan menyatakan besar populasi pada waktu adalah konstanta-konstanta positip.
a) Berikan makna fisik konstanta ?
b) Jelaskan kemungkinan adanya kesalahan di dalam model matematika tersebut untuk menjelaskan populasi suatu penduduk di suatu daerah pada saat
c) Tunjukkan bahwa

2. Hitung galat dan galat relatif dan banyaknya angka signifikan pada masing-masing nilai hampiran,
a) Nilai dihampiri dengan
b) Nilai dihampiri dengan
c) Nilai dihampiri dengan
d) Nilai dihampiri dengan
e) Nilai dihampiri dengan

3. a) Diberikan data dan yang masing-masing mempunyai empat angka signifikan. Dengan menggunakan empat angka signifikan dan .
4. b) Diberikan data dan , yang masing-masing lima angka signifikan. Hitunglah jumlah dan dengan menggunakan lima angka signifikan..